Faisons un petit rappel pour commencer : on appelle chaotique un système dans lequel la dépendance aux conditions initiales est extrême, c'est-à-dire qu'un changement très faible de ces conditions est susceptible de provoquer une forte variation dans le résultat. L'exemple le plus connu de ces manifestations chaotiques est ce qu'on appelle l'effet papillon. Métaphore météorologique, cet effet peut en fait se généraliser à de nombreuses situations ; depuis approximativement une quarantaine d'années, on cherche à étudier l'expression du chaos dans toutes sortes de domaines. Voyons ce qu'il en est pour le jeu d'échecs.

1.On peut se rappeler qu'en théorie le nombre de parties possibles avoisine les 10^120. Ce nombre, pour énorme qu'il soit, ne dit pas grand chose à notre sens commun (10^36 ou 10^120, quelle différence ?). Concrétisons-le par une conséquence simple : la tâche d'un chercheur se donnant pour but de trouver à coup sûr, par analyse exhaustive, la meilleure voie possible, quelle que soit la position donnée (de "finir le jeu"), est matériellement vouée à ??? l'insuccès. Chaque coup n'est qu'un changement mineur dans l'édifice, et pourtant le chaos se manifeste aux échecs dans le fait que quelques coups après une position de départ, on peut aboutir à des situations bien différentes.
Sans contrôle qualitatif, ou "livré à lui-même", le jeu dérive très vite vers le n'importe quoi. La position suivante nous fournit un exemple concret :

Je vais poursuivre la partie sur 23 demi-coups en tirant au sort les coups joués par les deux camps. Voici les quatre tentatives, sans retouche (vous allez voir, c'est assez mauvais) :
11.Tg1 Ff8 12.Ch5 Fxh5 13.Cxd5 Cb4 14.Rd2 C4a6 15.Cb4 Dc3+ 16.Rxc3 Fd6 17.Cxa6 g6 18.b4 b5 19.Rd3 Tg8 20.Fh6 Fxb4 21.Tf1 Fe7 22.Fe3
11.Re2 Fe4 12.Dg1 Rd7 13.Ccxd5 Fxc2 14.Rf3 Te8 15.Cxc7 Fg6 16.Cd3 Tc8 17.Dd1 Fd6 18.Fg5 Rxc7 19.a3 Fb4 20.Da4 Fd6 21.Fh3 f5 22.Taf1
11.Ff1 Tf8 12.Dd4 f5 13.Tg1 a5 14.Fb5 De7 15.Dd1 Tf6 16.Ff1 Fa7 17.Fc4 Cb4 18.Cfe2 Ff7 19.Fb5+ C4c6 20.Fh6 fxg4 21.Fxg7 Fh5 22.Tg2
11.a3 Fxa3 12.Tf1 Tg8 13.Rd2 Ca6 14.Tg1 Db6 15.Ch5 Ccb4 16.Cxg7+ Rf8 17.De2 Dd4+ 18.Dd3 Ca2 19.Re1 De3+ 20.Rf1 Ff5 21.Fh3 h6 22.Dxe3

Toutes les règles du jeu sont respectées, ce sont bien des parties d'échecs. Mais quand on suit ces coups (sans s'énerver) on se dit que les échecs, ce n'est pas ça. Ce "programme de jeu" de niveau zéro (bien que théoriquement il puisse aligner, par chance, les coups qui battront le plus fort des grands-maîtres) manque d'un ingrédient indispensable : il n'essaie pas de gagner. Ces parties mathématiquement possibles ne peuvent intéresser personne.

2.Le vrai jeu d'échecs, pour nous, humains, c'est la partie entre deux adversaires qui, en général, essaient de gagner, ou de ne pas perdre (il paraît que ça arrive). Mettons-nous à la place du joueur qui cherche à anticiper ce qui peut se produire sur l'échiquier.
Ce joueur est bien aux prises avec le chaos, mais celui-ci est d'une autre sorte. L'ensemble des positions imaginées, même furtivement, est beaucoup moins touffu et anarchique que celui des positions possibles. Si l'on veut essayer de quantifier cette différence, parlons du nombre moyen de coups jouables.
Le programme aléatoire répertorie environ une quarantaine de coups par tour de jeu (37 pour les quatre exemples écrits plus haut). Je dirai que l'on manipule un chaos de degré 40 (l'expression est de moi). Pour une analyse profonde de n demi-coups, il faut envisager 40^n positions. Un joueur réel ne considère pas beaucoup plus de 3 ou 4 coups à chaque fois. Le nombre des réponses successives étant moindre, le degré chaotique est bien moins élevé.

Alexandre Kotov aborde cette idée dans son livre "Pensez comme un grand maître" (Payot), lorsqu'il évoque l'arbre d'analyse. Il représente l'analyse d'un coup par un graphe qui évoque curieusement des structures ramifiées de type fractal (réseau sanguin, bassin fluvial, phénomènes électriques ???) un tronc central (bien visible) se séparant en branches plus fines (moins nettes), qui à leur tour se divisent. Kotov distingue dans ces arbres le tronc unique, variante qui peut être longue mais où tout est forcé (degré chaotique proche de 1), le buisson, "large éventail de variantes pas trop compliquées" (degré supérieur) enfin la forêt de variantes, caractérisant les positions les plus compliquées ; commentant 19???Cxf2! de Kérès contre Tal en 1962, Kotov conclut :"Quelle végétation luxuriante _ pratiquement une jungle ! Et pourtant cet ensemble tient totalement dans un espace de trois à quatre coups."
C'est ici qu'intervient l'idée de lutte contre le chaos. Le risque est de ne pas voir les bonnes suites, de se perdre dans les variantes et par là de laisser filer la partie. La mince frontière entre victoire et défaite ira parfois se glisser entre deux coups que l'on aura crus de valeur égale. Il faut donc essayer de ne pas lâcher prise, ou en tout cas moins que l'adversaire. Deux stratégies-types sont alors mises en ??uvre :
- maîtriser le chaos en abaissant son degré (n'envisager que peu de coups, mais les meilleurs, "à la Capablanca"), ou
- l'utiliser comme arme en essayant de perdre l'adversaire (le forcer à entrer dans un chaos trop grand, "à la Tal").
On peut me dire : il y a beaucoup de possibilités, certes. Mais au bout du compte on fait un choix, on prend une branche et on marche dessus. Le chaos est imaginé, pas dessiné (joué). Peut-on imaginer que le chaos se manifeste de façon plus concrète qu'à travers les cogitations du joueur ?

3.Eh bien, mettons-nous maintenant dans la peau du spectateur. Il ne joue pas, mais participe, en essayant de deviner ce qui va être joué. C'est là le problème : peut-on anticiper le coup d'un joueur à 100% ? Si l'on est moins fort, on sait intuitivement qu'à un moment on va être surpris. Mais on l'est également en observant un joueur moins fort. Pourquoi ? Parce que le niveau n'explique pas à lui seul les décisions prises sur l'échiquier. Il y a bien sûr la personnalité, le style de jeu de notre cobaye. Ce n'est pas surprenant si votre jeu est plus facilement anticipé par vos proches (par exemple l'entraîneur du club). Mais il y a une part d'impondérables, liés tant à la stabilité psychologique du joueur qu'au contexte.
Revenons au diagramme utilisé plus haut. Cette position a été jouée au tournoi de Rosny-sous-Bois en novembre 2002, par Anthony Bellaïche (Blancs) contre Alain Spielmann. Une victoire de Bellaïche lui donnait le titre de Maître International. Après le dixième coup noir, il joue 11.0-0(?) et écrit (Europe-Echecs n°517, p.45) : "Dans une partie à moindre enjeu, j'aurais probablement choisi 11.h5 qui gagne une pièce."
11??? Cd7(?) 12.Cfxd5!
" Je vous assure que cela n'a pas été facile de prendre cette décision, surtout que je n'avais pas envisagé de sacrifier une pièce dans cette partie importante. Après trente minutes de réflexion, je n'arrivais toujours pas à me décider, et subitement je me rappelai une phrase dite par un proche : "Cette partie doit être la plus belle partie de ta vie"."
Il suivit 12??? exd5 13.Cxd5 Dd8 14.Fg5 f6 15.exf6 gxf6 16.Te1+ Rf7 17.Cf4! Cb6 18.Df3 Te8 19.Txe8 Rxe8 20.Te1+ Fe7 21.Cxg6 hxg6 22.Dxf6 1-0
Cette variation du niveau de jeu de Bellaïche au cours d'une même partie est liée directement au contexte. Un Bellaïche en condition normale aurait probablement joué 11.h5! , mais peut-on savoir s'il aurait gagné ? Et aurait-il eu le cran de sacrifier plus tard dans la partie, si les circonstances l'avaient suggéré ? Vaines questions. Le spectateur est à son tour noyé dans le chaos des réactions humaines, qui est selon moi la troisième forme de chaos dans le jeu d'échecs, après le chaos intrinsèque, des possibilités du jeu en elles-mêmes, et le chaos des coups jouables.

Bien. Maintenant, à vous de réagir sur le sujet et de me dire ce que vous pensez de cette mise en bouche.

Un bon livre sur le chaos :"La théorie du chaos _ vers une nouvelle science", de James Gleick, n°219 chez Champs-Flammarion, présentation du sujet abordable et riche en anecdotes.

Et concernant Bellaïche, je pense que s'il retombait sur la même position, l'ayant suffisamment analysée, il jouerait le coup qui lui paraît le meilleur, à savoir 11.h5. Mais ça le regarde ! ( s'il veut tenter la nouveauté 11.Re2!?!? proposée par "la machine", libre à lui ! ).

Donc à mon avis si chaos il y a dans le jeu d'échecs il se trouve au niveau de la prise de décision, non dans ' l'infini' intrinsèque aux échecs (infini=non prévisible). De plus on peut différencier des 'niveaux chaotiques'. Par exemple Kasparov pourrait être capable de prévoir les coups d'une partie jouée entre deux MI: en se mettant à leur niveau, il prendrait en compte les paramètres qui pour lui définissent le MI, leur compréhension positionnel, leurs capacité tactique et s'il les connait personnellement alors il aura de grande chance de réussite en prenant en compte d'autres facteurs psychologiques.
Par contre
il lui sera impossible de prévoir les coups entre deux personnes qui viennent juste d'apprendre les règles du jeu. Car elles évoluent dans un système complexe non linéaire. Alors que dans une partie de GM on peut trouver des éléments de linéarité qui diminue l'effet chaos.

Tout ce qu'on ne peut pas calculer n'est pas chaos...

Sinon mon point de vue est que les échecs en eux-même sont ordonnés, tout comme l'univers d'ailleurs, mais que l'esprit humain n'est pas à même de l'appréhender dans son ensemble, et que, de par son libre arbitre, c'est l'homme qui y engendre le chaos. Quand tu écris que quelques coups seulemetn peuvent amener des situations bien différentes, tu apportes déjà ton interprétation humaine sur ces situations.. Effectivement au vu du "résultat logique", on passe très facilement de -1 à +1 ou à 1/2 en jouant des coups aléatoires. Mais ce serait comme de dire qu'une rue est chaotique parce qu'en y marchant dans des directiosn aléatoires on change facilement de trottoir...

Vous me dites si je caricature hein :o)

Ha, mais pour arriver à trouver ça il aurait fallu mettre 10^120 claracs à 2Ghz en parallèle ;o)

Au fait tu sais qu'il y a un village en France qui s'appelle clarac ?

En tout cas en attendant je vais méditer à la belle phrase de Perestroïka :"il aurait pu en se grattant le cul...révéle(r) à la face du monde"...En plus il a raison !

Un très fort joueur ( Kasparov )va avoir du mal à prévoir le jeu d'un joueur moyen, globalement irrégulier. Ce sera peut-être plus facile avec un joueur débutant ( qui va retomber dans les mêmes pièges faciles à chaque fois ), voire même avec un autre très fort joueur, beaucoup plus régulier et à la compréhension voisine.

Un " cerveau " 10^120 plus rapide que le nôtre, ça n'existera jamais. Je prends les paris ! ;o)

Oui, le chaos dépend d'un observateur. Dans l'absolu, rien n'est imprévisible, différent, très différent. Les choses sont, et voilà. Mais ( et je ne veux pas faire de métaphysique !! ) la science moderne ( justement à travers ce phénomène du chaos, mais la physique quantique aussi est d'accord ) fait entrer l'observateur dans le système qu'il observe. On ne peut pas considérer les choses pour ce qu'elles sont dans l'absolu. Et c'est vrai qu'en principe les positions obtenues après mes tirages au sort ne sont pas plus "bizarres" ou "désordonnées" que celle jouée par Bellaïche et Spielmann. C'est un autre placement des pièces, c'est tout. Mais du point de vue d'un joueur d'échecs ( je n'ai jamais quitté ce poste d'observation ), il y a quatre horreurs et une position que l'on a envie d'analyser. Le chaos, c'est qu'en quelques coups ( moins que 11, en fait ), on est passé de l'intéressant à l'irrécupérable.

Je souligne la séparation que je fais entre le chaos né du calcul des variantes ( propre aux échecs ) et le chaos né directement de la psychologie ( dont le passage devant l'échiquier n'est qu'un épiphénomène ).

Perestroïka : le jeu d'échecs n'est ni simple ni compliqué dans l'absolu. Il est. Mais beaucoup d'observateurs le trouvent compliqué ! parce qu'ils ont essayé d'y jouer, peut-être ?.

El cave, tu m'as compris.

Et pour revenir à Bellaïche, il a joué 11.0-0, ou alors il faudrait ne plus croire en la presse !!

Alors c'est vrai qu'en plus, si un joueur doit gérer ses émotions durant la partie ( le cas de Bellaïche était là pour l'illustrer ), ça ne ramène pas d'ordre dans notre " processus décisionnel " ( notre envie de trouver la meilleure chose à jouer ).

Mais dire que le chaos affecte les échecs parce que ce jeu est une activité humaine ( mettons de côté le cas des logiciels, personne ici n'en est un, ou qu'il le prouve !! ) est réducteur. Tout est chaos, alors ! J'ai essayé de montrer qu'on pouvait trouver cette instabilité dans l'essence même du jeu.

Bon, cela dit, et il fallait que ce fût dit ! (Non mais ! Drogué ! Hasardo-dépendant ! ;o)), je disais quoi déjà ??
Ah oui ! Ben, ceux qui se tiennent un peu au courant savent que "l'effet papillon" (surtout mis à toutes les sauces) a plutôt du plomb dans l'aile !
J'en avais je crois déjà causé dans le poste FE, mais quand ? Enfin, la référence pour les curieux :
"L'effet papillon n'existe plus !" par Raoul Robert, in Pour la Science n°283, Mai 2001, p29.

Bien Atms ! Bravo ! bon sujet, t'as pas perdu la main ! Je m'occupe de ça dès que j'ai un moment. ;o)
Evidemment qu'il est présent dans l'essence même du jeu, et pas besoin d'observateur même Péresien !

PS : D'ailleurs l'hyper-sensibilité aux conditions initiales de l'esprit péresien m'étonnera toujours ! ;o)

Je voudrais reformuler la chose: il s'agirait d'évaluer le nombre de positions dont on peut dire qu'elles sont clairement à l'avantage de l'un ou l'autre camps. L'art des echecs consiste à obtenir une de ces positions pour son propre camp, quelle que soit l'approche (scientifique ou psychologico-manipulatrice ou artistique ou autre). Et je suppose qu'il existe très peu de positions équilibrées en proportion du total des positions possibles, donc finalement on a de fortes chances d'en obtenir au moins une déséquilibrée dans n'importe quelle partie. La question c'est de faire pencher la balance en sa propre faveur, mais ça, ça n'a plus rien à voir avec le sujet.

Par ailleurs, quand on dit "modification, même infime, des conditions initiales", qu'est ce que l'infime aux échecs ?(mis à part ma compréhension du jeu de position, qui donnerait déjà un aperçu assez fiable, j'en conviens...?)

Il y a également les systèmes indécidables (même très simples), où il est impossible, malgré une modélisation parfaite, et des conditions initiales figées, d'aboutir à un résultat probant.

Et enfin, les systèmes incalculabes, du fait du trop grand nombre de variables, ou du temps de calcul nécessaire.

Effectivement, il faut aussi bien préciser ce que l'on observe :
- le meilleur coup possible à partir d'une position donnée est souvent incalculable, à cause de l'impossiblité matérielle de résoudre le calcul jusqu'à l'ultime feuille de l'arbre des variantes.

Néanmoins, ce n'est pas indécidable, puisque l'on sait qu'il existe une (ou plusieurs) suites possibles qui mènent à une évaluation maximale pour le camp au trait.

Ce n'est pas non plus chaotique puisque les conditions initiales ne varient pas, et que la modélisation parfaite est déterministe.
Par contre, les algorithmes basés sur une évalation partielle de l'arbre, avec choix du coup aléatoire semblent chaotiques.
Fritz peut dans la même position, avec les mêmes paramétres, sortir deux suites totalement différentes... C'est une apparence de chaos, la fonction random est pseudo-aléatoire, et si l'on peut analyser finement les paramétres, on obtiendra les mêmes résultats.

Si l'on s'interesse au choix d'un coup, à partir d'une position donnée, par un joueur, on n'est toujours pas dans le chaos. Seulement dans un problème trop complexe pour être modélisé, non déterministe.
Le chaos intervient peut-être, mais tant que l'on n'a pas construit un modéle suffisament fin, on ne peut rien affirmer !
D'autre part, impossible de faire varier légèrement les conditions initiales pour ce pauvre Bellaïche, à moins de le mettre en stase, et le cloner exactement à l'identique pour pouvoir étudier tout ça :o)

Attention à ne pas associer non plus impossibilité de mesurer une donnée, ou des probabilités (la position d'une particule en M.Q) et théorie du chaos.
Par exemple, un photon envoyé par deux fentes de Young à la même proba de passer par l'une ou l'autre. Un autre, exactement identique (i.e conditions initiales identiques ) a la même probabilité que le premier. Le système est déterministe statistiquement, et prévisible.
Ce qui ne l'est pas, et ne peut pas l'être, c'est de savoir par quelle fente passe le photon.

Pour l'incertitude d'Heisenberg, là, chuis largué pour savoir s'il y a du chaos là-dedans :o)
Mais c'est plutôt, pour ce que j'en perçois, une notion statistique.

Le chaos, c'est juste dire que l'on ne pourra jamais aller assez loin dans la précision des paramètres pour garantir que deux experiences produiront des résultats similaires.
Une toute petite variation d'un paramètre peut (ou non) induire un résultat totalement différent.

La relation entre Heisenberg et chaos... C'est fort possible :o)
Il y a un chercheur français qui soutient une théorie comme quoi l'univers serait fractal (c'est une branche de la théorie du chaos, si je ne me trompe), et son modèle permettrait à terme d'unifier relativité, et thèorie quantique.
On passerait de l'infiniment petit à l'infiniment grand par des transformations fractales.
Mais bon, le monsieur, il est à des miliers d'années-lumière de ma petite tête, et faut pas compter sur moi pour approfondir le sujet :o)

Si je ne raconte pas n'importe quoi, le jeu en lui-même n'est pas chaotique, juste incalculable.

Et le mécanisme qui aboutit au choix d'un coup pour un humain est trop complexe pour être modélisé, donc impossible de dire si le chaos intervient.
Cependant, j'imagine que si l'on arrivait à prendre en compte la plupart des paramètres qui interviennent dans le choix d'un coup, on obtiendrait souvent le même résultat... Mais c'est une opinion, pas un fait :o)

Cela me fait rebondir sur un autre post (Reyes, un moteur ! (Chuis sûr que ça le fâchera plus...)), débat entre l'inné et l'acquis aux Echecs.
Si l'on pouvait effectivement prendre des sujets presque identiques et obtenant des résultats fort différents, on ne serait pas loin du chaos !

Je m'égare encore !
Sinon, pour en revenir aux exemples d'Atms, c'est plus la gestion du désordre (au sens thermodynamique) que du chaos.
On chercherait à réduire ou à augmenter l'entropie.

On a mis 200 posts pour aboutir à ta conclusion !o)

Et la physique n'exclut pas de voir mon pauvre petit canasson se transformer, d'un coup de baguette quantique, en une puissante et belle Dame !

Je m'en vais de ce pas tenter l'experience.
Je vous tiendrai au courant !

Je ne vois en tout cas pas du tout de lien entre chaos et échecs. Quelles sont les conditions initiales considérées et les variations à prendre en compte et surtout la mesure de distance entre deux situatios ?
Qu'est-ce que les "reactions humaines" viennent faire ici ? En quoi les echecs sont ils specifiques ? Je ne vois vraiment pas. Toute decision humaine fait intervenir une part d'incertitude si c'est cela que tu veux dire atms, voilà et après, en quoi les echecs sont ils un cas special et cela a-t-il forcement un rapport avec la theorie du chaos ?
Il me semble au contraire que Kasparov jouent en moyenne tres bien qu'il pleuve ou non et qu'il ait pris du poisson ou pas a midi.

Je rajoute qu'il existe un sens commun pour le mot " chaos " ( en gros, le désordre incontrôlable ) et un sens scientifique, une redéfinition précise bien pratique si l'on veut étudier la chose scientifiquement, définition qui est celle que j'ai donnée dans l'article. Des confusions émergent de ce décalage entre les deux acceptions du mot.

JMC : Ton truc c'est là : L'imagination est elle finie ? par JMC_
Ah ! quel beau débat ! Et puis tiens en farfouillant dans les "dommages collatéraux", j'ai retrouvé une question que j'avais posé sans succès dans cet autre fil :
Bizarre..Bizarre (suite) par Perestroïka, qui comme son titre l'indique est la suite de :
Bizarre...bizarre par regicide où il est question de PEP (Prise en passant).
Et un p'tit coup de nostalgie pour certains ! ;o))

Ma petite question avec le recul me paraîssant plus que pertinente par ces temps de contestation des règles, je la repose dans un autre (nouveau) fil ! ;o))

Je réitère la question de Kolvir qui me semble essentielle : Quelles sont les conditions initiales considérées et les variations à prendre en compte et surtout la mesure de distance entre deux situatios ?. Le chaos implique la notion de variations très petites entraînant d'autres variations très grandes : Qu'est-ce qu'une variation petite ? Qu'est-ce qu'une variation grande ? Comment mesurer la distance entre 2 situations pour assurer que chaos il y a ?

fn(x) est l'estimation que le joueur se fait de la position, lorsque le coup x a été joué et que n demi-coups ont suivi sur l'échiquier. Toute l'estimation, les positions multiples, etc., sont dans f1. Rendu à fn(x), on refait le point :" rétrospectivement, ai-je eu raison de jouer x ? Peut-être que les complications ont fait que fn(x) est moins bon pour moi que f1(x) ( mais trop tard, ce qui est joué est joué ! )."

Si la partie avait suivi la voie y, il est possible que fn(y) soit beaucoup plus élevé que fn(x) ( c'est le genre de choses dont on peut avoir une idée à l'analyse ).

La difficulté c'est qu'une seule suite s'est jouée " pour de vrai " et qu'une analyse est en général d'un meilleur niveau que les coups de la partie ( c'est un peu le but ).

En résumé, tout tourne autour du fait que le jugement de chaque position n'est pas absolu, mais foncièrement subjectif. Dans l'absolu, il n'y aurait pas le même problème, car ce n'est pas en avançant dans l'analyse qu'une suite gagnerait ou perdrait en force. Avec de " vrais joueurs ", si.

Des conditions initiales très différentes, mais une fin convergeant toujours vers les mêmes valeurs...

Un téléfilm parlant d'une guerre entre la Chine et les USA ??! Si quelqu'un a la cassette, ça m'aidera pour mon prochain article, merci.

Je réflechissais à ce que pouvait vouloir dire "atms" (j'étais parti, je ne sais pas pourquoi, sur l'usine ACME qui fournit le matos à Coyote vs Bip-bip), quand j'ai cliqué sur ton profil.
Et là, l'illumination ! Le chaos aux Echecs, dont on parle depuis le début, ce sont les problèmes où l'on rajoute juste une pièce, ou change la place de l'une d'elles, pour avoir un deuxième problème (désolé, je ne me souviens plus de l'intitulé du genre).

Pour le chaos version atms, je ne suis pas trop d'accord avec "jugement subjectif"...
On essaye autant que faire se peut, d'arriver, même au cours de la partie, à un jugement absolu. C'est même le but !
A l'aide de calculs, d'évaluations objectives, on établit le coup qui nous semble le meilleur.
L'idéal étant d'éliminer autant que possible la subjectivité.
Malheureusement, nous sommes limités...

D'ailleurs, cela me rappelle beaucoup la démarche scientifique, où l'on élabore une théorie, à partir d'un ensemble partiel de faits, ou mesures....
Théorie qui se voit confirmer ou infirmer à la lumière de faits nouveaux.
Et même la théorie "absolue" peut être remise en cause un jour !

1. qu'est-ce que vous avez pris ?
2. o