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| Une petit jeu intéressant par bl***oc**5339 le
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| Problèmes | |
Sur le site de Chessbase, il y a un article, qui est apparemment passé inaperçu, sur un petit jeu extrêmement intéressant.
Pour les francophones, l'énoncé du problème est le suivant :
- Chaque participant au jeu doit indiquer un nombre entre 0 et 100.
- Ce nombre peut ne pas être entier, par exemple je peux rentrer 77.777 si ça me chante.
- Une fois que tout le monde a joué (dernier jour pour participer: 28 juin), l'huissier de justice va calculer la moyenne des réponses des participants. Par exemple, supposons que cette moyenne est 36.15
- L'huissier calcule les 2/3 de cette moyenne, dans notre exemple ça donne 24.1
- L'internaute qui a donné indiqué le nombre le plus proche de cette moyenne a gagné (200€ en bons de produits CB)
Ce jeu est organisé par une université allemande, qui désire apparemment trouver une corrélation entre le nombre que vous donnez à l'étape 1 et votre classement FIDE.
Je vous propose donc de participer à ce jeu le plus honnêtement possible, en essayant de raisonner tel un joueur d'échecs qui cherche son nombre gagnant.
Et ensuite, pour les anglophones parmi vous, vous pourrez consulter cette page Wikipedia-là, et rire un bon coup !
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petit jeu intéressant Ceci est un résultat connu en théorie des jeux. Même sans connaitre le résultat, il est pas très difficile de le déduire en procédant par itération...
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Amusant ce concours ! :) On voit qu'il y a une infinité de solutions collectives optimales (même 100,100,100...), mais une seule est stable (0), car personne ne peut donner un nombre plus petit.
Ceci dit, quand on regarde l'histogramme on a peur de jouer 0 : http://konkurrence.econ.ku.dk/r/o . Le pic en 50 est plus haut que celui en 0... (représentatif de ceux qui ont participé sans même comprendre la règle du jeu ?!). ça ferait presque penser aux élections en politique tout ça ^^ Allez, j'vais jouer 0, na. Faites tous pareil et ruinons Chessbase !! mwahaha.
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Exactement le même énoncé dans un concours de J&S (petit larme de nostalgie) dans les années 80.
Si Lebleu a le résultat, j'aimerais bien le connaître :-).
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En fait, dans le concours (question de départage) plusieurs participants avaient répondu 0 en "prouvant" que c'était la seule réponse possible. Ils n'ont pas gagné, bien sûr.
Ce qui manque, ici, pour pleinement utiliser la théorie des jeux, c'est l'hypothèse de rationalité.
Je vais voir mes numéros de J&S.
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Références Jeux et Stratégie En fait, les petits vicieux avaient posé la question dans deux concours successifs : en 1981 et 1983. Pour être précis, il fallait choisir un nombre entier entre 1 et 1 milliard. Ce qui en divisant par 10 millions, revient à choisir un nombre décimal (limité à 7 décimales) entre 0,0000001 et 100.
Premier concours en 1981 (énoncé et résultats dans le numéro 10).
Deuxième concours en 1983 (énoncé dans le n°20, résultats dans le n°22 et analyse de la question subsidiaire dans le n°24).
Je ne sais pas si je dois donner les résultats : ça influencera forcément le concours actuel ! En 1983, le gagnant avait bien sûr donné un nombre plus petit que celui de 1981.
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Le gars qui avait gagné ds le jeu et stratégie de mémoire avait indiqué 127,8727278782... Un truc comme ça...
Il y a une analyse de tous les raisonnements possibles et J et S terminait l'article par "Si vous avez raisonné autrement, écrivez-nous, ça nous intéresse...
C'était une question subsidiaire à un championnat de logique mathématique...
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C'était un nombre compris entre 0 et 1000
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J'ai les articles sous les yeux donc je crois ne pas me tromper :-)
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Je dois avoir encore le numéro C'est fou ce que la mémoire me joue des tours... Ah! La vieillesse...
FPC, tu peux m'écrire la solution (Manuelmenetrier(chez)gmail;com. Merci !
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et si je me rappelle bien il y avaient des joueurs qui avaient tenté une stratégie de groupe pour essayer d'influencer la moyenne.
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il y avait
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En fait Même si ce jeu est bien connu des théoriciens, je trouve que l'intérêt de l'approche, c'est de voir si les stratégies des joueurs seront différentes suivant leur ELO, et en fonction de ce qu'ils attendent du ELO des autres joueurs.
En particulier, soit K le nombre de "récursions stratégiques" qu'effectue un joueur rationnel idéal. On s'attend alors que le nombre donné N soit: N=50.(2/3)^K
Maintenant, se peut-il que N soit corrélé au ELO ? Genre qu'en dessous de 1400, on ait beaucoup de K=0 (N=50), qu'entre 1400 et 1700, on ait beaucoup de K=1 (N=33.333), etc... jusqu'à beaucoup de N=0 pour les joueurs les plus forts ?
Autre question intéressante: à partir de quel niveau de compétence le joueur va-t-il se rendre compte que tous ne raisonnent pas comme lui ? Et va alors tenter de modéliser le comportement global de la population échiquéenne...
Je vous donne mon exemple: je suppose que 25% de la population ne réfléchit pas (K=0,N=50), 50% a (K=1,N=33.333), 15% a (K=2,N=22.222) et 10% effectue un raisonnement itératif tel que le mien (N_opt).
On obtient, au point stable, l'équation N_opt = 2/3 * ( 50*25% + 33.333*50% + 22.222*15% + N_opt*10% )
Avec ces hypothèses, j'obtiens N_opt = 325/14 = 23.214. Vu la faible pente de la droite du côté droit de l'équation, la convergence est très rapide.
Évidemment, il y a énormément de réserves à effectuer, notamment sur la répartition de joueurs, selon leur formation en mathématiques/algorithmique/théorie des jeux, sur leur capacité à trouver des infos sur Wikipedia/France-Echecs, etc...
La moyenne est donc mouvante, c'est ce qui rend ce jeu très drôle :-)
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..jusqu'au jour où tout le monde comprendra qu'il est dans l'intérêt général de jouer 0. Continuons de rêver :-) De toutes façons tout raisonnement ressemblant à celui que tu donnes revient à être tiré au sort parmi quelques centaines (milliers ?) de gens qui ont proposé entre 15 et 25. à choisir je préfère jouer 0, n'ayant jamais eu de chance aux jeux de hasard ^^
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n particulier, soit K le nombre de "récursions stratégiques" qu'effectue un joueur rationnel idé Bah non, car si tout le monde pense à ça, il faut faire 2/3(2/3)K. Et le type qui pense à ça se dit qu'une partie de gogos vont jouer 2/3 K, mais quel pourcentage, quel pourcentage de 2/3 (2/3) K, quel pourcentage d'"idiots" qui vont donner un nombre supérieur à 66,6 période 6, ... C'est ça qui est rigolo.
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ah mais tout le monde ne pense pas comme blaylock :) (même si son raisonnement est certainement le plus juste, il ne peut pas aboutir à une valeur précise, trop d'incertitudes =/)
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Les résultats de J&S Concours 1981 :
- 611 ex-aequo à départager (la moyenne est calculée uniquement sur ces ex-aequo)
- moyenne : 134 822 738,3
- 2/3 de moyenne : 89 881 825,5
- gagnant : 89 793 238
Concours 1983 :
- 2898 ex-aequo à départager (la moyenne est calculée uniquement sur ces ex-aequo)
- moyenne : 100 994 179,5
- 2/3 de moyenne : 67 329 453
- gagnant : 67 373 773
Je rappelle qu'il fallait choisir entre 1 et 1 milliard. Pour le concours Chessbase, il faut diviser par 10 millions. Les concurrents de 1983 n'avait pas forcément connaissance des résultats de 1981 (c'était mon cas, et j'avais joué beaucoup plus petit. Moins de 10 millions dans mon souvenir).
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L'incertitude c'est qu'on ne connaît pas exactement le pourcentage de personnes connaissant (ou ayant trouvé) la stratégie optimale comparé au pourcentage des autres (et de ce que ces autres vont jouer).
Si on arrive à deviner la répartition exacte, alors le nombre optimal N_opt est juste l'affaire d'une toute simple équation linéaire...
Pour le cas de la trop regrettée Jeux et Stratégie, je trouve que les moyennes à 13.482 et 10.099 sont remarquablement basses, signe qu'énormément de joueurs ont joué la stratégie optimale, mais seulement avec des hypothèses trop hautes sur les autres joueurs...
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Réflexion 1 Le raisonnement de blaylock est intéressant ; j'ai quant à moi raisonné différemment en considérant que lorsque le jeu a été initialement le nombre vainqueur a été 21,6 soit une proposition moyenne de 32.4. Il reste à estimer de combien de % cette proposition moyenne sera réduite du fait que :
1) on peut considérer que la connaissance progresse, certaines personnes (dont je fais partie) ont connaissance de résultats de ce type de jeu
2) les joueurs d'échecs raisonnent peut-être mieux que la moyenne de la poulation (remarque : le concours danois fut d'après Wikipédia proposé dans le journal Politiken, et je n'exclus pas que les passionnés de politique raisonnent quant à eux en dessous de la moyenne...)
Pour résumer, il y aura une majorité de joueurs qui miseront sur 32.4 en moyenne (raisonnement semblable à la moyenne de la population, jamais entendu parler de ce jeu avant), certains joueurs qui n'ont jamais entendu parler de ce jeu mais miseront néanmoins sur une valeur inférieure à 32.4 car, jouant aux échecs, raisonnent mieux que la moyenne, des joueurs ayant eu connaissance du concours danois et qui supposent un niveau de raisonnement équivalent (ces joueurs miseront 32.4 x 2/3 = 21.6), et des joueurs qui auront anticipé ces comportements et miseront une valeur inférieure à 21.6.
Prenant en compte tous ces paramètres, j'ai fait l'estimation grossière que 21.6 ne serait pas pour ce concours le nombre gagnant mais plutôt la moyenne des propositions. Et j'ai donc validé 14.4 (maintenant il me reste à vous convaincre que mon raisonnement est erroné et que vous avez plutôt intérêt à parier sur 21.6...)
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Réflexion2 Kaktus, tu parles d'une réflexion de groupe : 2 stratégies selon moi :
1)une possibilité consisterait à estimer le nombre vainqueur (y) et ensuite à décider que (N-1) joueurs parieront sur y x 3/2 pour influencer la moyenne et que le dernier joueur misera sur y. Si N tend vers l'infini, la solution tendra effectivement vers y. Malheureusement en supposant que les gains sont ensuite distribués entre les joueurs, le gain pour chaque joueur tendra lui vers 0 donc cette stratégie ne marche pas.
2) amélioration de la startégie 1) : le maximum de joueurs mise sur le nombre vainqueur (ce qui fait baisser la valeur du nombre vainqueur) et quelques joueurs (le minimum) se sacrifient en misant sur 100 pour remonter la moyenne.
Exemple : je pousse ma réflexion (cf. post plus haut) et j'estime que le nombre vainqueur est 14,4. Je trouve 99 amis, 92 d'entre nous misent sur 14,4 (à peu près) et 8 misent sur 100.
La valeur ajoutée du groupe réside dans le fait qu'on va réussir sensiblement à influencer la moyenne en sacrifiant un nombre limité d'individus (et accessoirement à plusieurs on estime plus facilement le nombre vainqueur.
ceci dit je ne demeure pas convaincu à 100% que l'espérance de gains avec cette méthode soit meilleure que celle qui consiste à jouer perso et sans partager les gains (en essayant d'avoir un meilleur raisonnement que ses amis.)
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@Map17 : Et si après sacrifice la 2/3*moyenne est à 15 et que vous perdez tous ? :-) il suffit de quelques milliers de participants pour avoir une réponse par dixième entre 0 et 100. Donc je ne crois pas trop à ces stratégies =/
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effectivement il faudrait affiner : plutôt qu'avoir 92 joueurs à 14,4, on pourrait déterminer un intervalle qui dépendrait de l'incertitude supposée (elle-même dépendant du ratio de participants appartenant au groupe) et diviser le nombre d'intervalles par 92 pour jouer plus de numéros...
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Résultat Le résultat vient de tomber, il est à 21,4769. Etonnamment proche du résultat obtenu auprès de lecteurs de la revue danoise Politiken.
Blaylock et map17 étaient dans le vrai. Moi je ne me souviens plus ce que j'avais proposé...
Il y a une deuxième phase du jeu, avec un second tour, qui devrait probablement donner un résultat plus faible, et où on demande aussi de deviner les résultats par tranche elo...
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ref map21 Bon, alors imaginons que je tiens ton raisonnement n°1, mais que j'estime que 10% des joueurs, particulièrement intelligents, le suivront. Alors nous avons 90% des joueurs qui jouent 21.6 en moyenne, et 10% qui jouent 14.4. Il me reste à jouer en fonction de la nouvelle moyenne (20.88 je crois), c'est-à-dire 13.92.
Bien évidemment, je ne vais pas gagner, car quelqu'un d'encore plus intelligent, par exemple un habitué du forum (j'ai des noms!) va anticiper que 1% des joueurs feront comme moi, et donc miser un cheveu plus bas. Ah, les futés!
Je pense qu'il n'y a pas de stratégie optimale, que la bonne réponse sera quelque part entre 5 et 35, et que le vainqueur sera tout simplement le plus chanceux parmi ceux qui auront tenté des réponses vraisemblables.
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ref puch je ne suis pas entièrement d'accord avec toi. Aux échecs on dit souvent qu'il vaut mieux un mauvais plan que pas de plan du tout. Et bien j'aurais tendance à extrapoler en affirmant que dans ce jeu mieux vaut un raisonnement imprécis que pas de raisonnement du tout.
blaylock a proposé une stratégie, j'ai proposé une stratégie, tu as proposé une stratégie, et ces stratégies, quoi qu'imparfaites sont toutes basées sur des raisonnement rationnels. Je suis donc persuadé qu'il est préférable de suivre une de ces stratégies (ou par exemple de choisir la moyenne des résultats découlant de chaque stratégie, ce qui est aussi en soi une stratégie), que de choisir un nombre au hasard entre 5 et 35.
Ce que j'admets néanmoins c'est que toute stratégie sera très imprécise dans ce type de jeu, mais encore une fois je reste persuadé qu'il vaut mieux une mauvaise stratégie que pas de startégie du tout
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Alors je propose que nous france-échiquéens testions la stratégie de groupe n°2 que tu proposes pour le second tour. Si nous réunissons suffisamment de votants, qui sait...
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map17, tu me convainc moyen là avec ta moyenne de stratégies qui sont déjà des pondérations :-)
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Bon, en tant que plus bas elo de la bande je me dévoue pour jouer 99,999999.
Ca fait 1.
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