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| Un peu de math par Ca***ai***la**82 le
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| Problèmes | |
Hier une mouche m'a piqué et depuis je cherche à majorer le nombre de positions légales.
J'en suis pour l'instant à 10^52 mais je continue de chercher. Est-ce que certains d'entre vous ce sont déjà penché sur ce problème ?
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certains l'ont fait et il semble que la conclusion soit: ???? ;o) Je crois que ta mouche est passe par la...
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essain de mouches si un essain de mouches te piquent, tu pourras chercher le nombre de parties légales possibles: approximée à 10 puissance 100
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10 puissance 120
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ref: jérémie 10^120 est l'approximation du nombre de parties possibles par forcémment légales. Mais en fait, personne n'est sait rien.
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par exemple prenez deux rois et un fou chacun. Toutes les positions où les deux rois sont en echec sont illegales. Toutes celles où un roi est en echec ne sont legales que s'il a le trait. C'est infini ce truc-là... ajoutez un pion noir en d5 et un pion blanc en e5, vous avez deux positions légales en une: avec ou sans prise en passant. Si le roi noir est en a8 et le fou blanc en e4-f3-g2-h1, la prise en passant est-elle légale? ;o)
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sans parler des sous promotions avec des 10 cavaliers de chaque côté, dure d'éviter la nulle par abondance de matériel
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La position mais pas les possibilité de jeux Je pense qu'il faut que je précise ce que j'essaye de dénombrer.J'appelle position les états des 64 cases de l'échiquier, sans tenir compte: du trait, des possibilités de roque, des possibilités de prise en passant, du nombre de coups sans prise ni coup de pion, de la répétition de chacune des positions antérieures.En fait je ne tiens compte que de la 'photo' de l'échiquier. C'est évidemment discutable, mais ce genre de considérations ammènerait des problèmes proprement inbitables.Sinon j'ai regardé (très rapidement) le lien pointé par IDF. Bien que les idées évoquées soitent très intéressantes, elles visent à répertorier les positions en tenant compte des possibilités de jeu, ce qui n'est pas mon but. De plus, les méthodes suggérées sont 'algorithmiques' et non 'mathématiques': Elles produisent des estimations et non des majorants.PS: 10^50
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faut pas confondre majorer et trouver le maximum continue capitaine flam, te laisse pas decourager.
c'est interessant, fais nous part de tes progres sur le forum stp.
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oui, réponse dans 100 ans passez le bonjour à mon petit petit fils de la part de son grand père Fred
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problème interessant Estimer le nombre de positions légales est difficle, le majorer aussi (si on veut un majorant pas trop trivial, bien sûr), mais c'est un problème moins connu. Tiens-nous au courant, je veux bien des éléments de démonstration, aussi.
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ref fredspeklin ya deja une reponse plus haut.
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contribution a cette noble tache je suis nul en maths, mais il me semble qu'en commencant par la fin, c'est plus simple... Avec deux rois, il y a 64 positions pour un roi donne. Dans 36 de ces positions ( pas sur la bande), l'autre roi dispose de 64-8=52 cases. Dans les 4 positions en coin, il en a 64-3=61, et dans les 24 restantes, 64-5=59. Donc avec deux rois, on a
(36*52)+(4*61)+(24*59)= 1872+ 244 + 1416 = 3532 positions legales ;o)Bon courage pour la suite :OD
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Non Idfx Les deux rois ne peuvent pas être sur la même case ! Il faut retrancher 64 à ton résultat.
Avec la terminologie du lien (très intéressant) donné plus haut, il y a donc 3468 "Boards" (ie "photos") possibles avec seulement deux rois.Si on compte ce que nos amis anglophones nomment "position", c'est à dire la photo + qui a le trait + droits éventuels de roque ou de prise en passant (je zappe sur les répétitions, 50 coups, etc...), on obtient 6928 "Positions légales" (la terminologie français que je propose) avec les seuls deux rois:
En effet, dans 3460 "photos", il y a deux possibilités pour le trait, et dans huit autres (sur le modèle Ra8/Rc6) il n'y en a qu'une seule. Ainsi, déjà pour deux rois seuls, ce n'est pas super simple. Et si je me suis trompé aussi, ceci ne fait que confirmer cela. Ajouter une pièce semble encore très faisable "à la main", mais après je le sens mal... A titre personnel, j'adore ce genre de problèmes, mais je pense que le plus intéressant à dénombrer (enfin, majorer) serait le nombre de "positions légales" (c'est ce qui est par exemple utilisé dans les tables de finales...) Bon courage,...
Pùch
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A ben oui... Je me suis trompé également, puisque dans la "photo" RBa1/RNc2 également, seuls les blancs peuvent avoir le trait. Après correction, je dirais plus exactement 24*1+(3468-24)*2= 6912 "Positions légales", mais bon je n'ose plus rien affirmer...
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zut, c'est vrai meme avec seulement les Rois, c'est deja le bordel ;oD Par ailleurs, evidemment, je ne tenais pas compte du trait, comme indique par CapitaineFlam.
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Régularité statistique Désolé de poster avec un titre qui fait peur, mais je vous rassure, mon post est compréhensible. Je considère, dans mes calculs, qu'il y a 64*63=4032 façons de placer les rois, ce qui revient à les placer sur des cases différentes, mais éventuellement adjacentes. Pourquoi ? 1) Il n'y a rien à redire à vos calculs, cependant les deux résultats (3468 et 4032) sont du même ordre de grandeur. Or on cherche dans ce problème à diviser le nombre de positions par 100 ou 1000, pas à le réduire de 10%. 2) Je ne pense pas qu'il faille chercher dès le début à obtenir un résultat exact. Je suis horrifié quand quand je vois Puch devoir résoudre un problème d'AR pour exclure 8 positions du total ! Ma démarche reste de trouver un majorant.3) Et finalement la vraie raison: Si on ne considère les 3468 façons de disposer deux rois sur un échiquier répertoriées ci-dessus, les rois on plus de chance de se trouver dans les coins ou à la bande qu'au centre. Dans ce cas la probabilité de présence d'un roi est plus forte dans les coins, ce qui rend inaplicable (ou difficilement applicable) tout résultat statistique (sur la probabilité de présence d'un pion sur les rangées 1 et 8 par exemple). Ouf ... J'espère avoir été le plus compréhensible possible et ne pas avoir inventé trop de termes ;-)
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probabilite de presence ?? ah oui tu dois vouloir parler des electrons des atomes qui composent le roi...bon et ben tu n as qu a resoudre 10^50 fois l equation de Schrodinger... :)
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Je ne vois pas pourquoi avec un roi en a8 et l'autre en c6 on pourrait déterminer qui a le trait.
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Enfin je vois d'où ça vient Mais même si pour un problème il y a la convention que la partie s'arrêterait dès que la nulle est inévitable, ça n'est pas le cas en compétition tant qu'un joueur ne le demande pas.
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Ah, le 9.6 ! Je ne sais si cette convention est officiellement admise pour les problèmes d'analmyse rétrograde, mais ça ne me paraît pas le plus important dans ce cas précis.
Comme le dit capitainflam, dans ce problème, il n'est pas très intéressant de se casser la tête pour supprimer huit possibilités. Mais je serais curieux de voir les premières demonstrations qui mènent au résultat de 10^50...
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Tout a fait d'accord avec capitaine flam Bien sur mon calcul n'avait guère d'utilité algorithmique, il faut le prendre comme un amusement mathématique! A des fins de programmation, 64*63 est bien entendu une majoration largement assez fine. Mais par contre je me demande si on a le droit de faire intervenir des raisonnements statistiques pour effectuer une majoration ? Cela semble trop peu déterministe, non ?
Pùch
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2 rois et un pion J'ai employé le mot statistique de manière impropre. Je reste cependant convaincu que ma méthode est déterministe. Un bon exemple valant mieux qu'un long discour ... Si on recherche le nb de position avec les rois et un pion (blanc par exemple) non promotioné, on pourrait être tenté de prendre les 3612 (parce qu'en fait 64-8 ça fait 56 ;-)) couples de rois et multiplier par 62 pour ajouter le pion. Jusqu'ici rien à dire.
On pourrait ensuite s'apercevoir qu'un pion ne peut pas se trouver sur les rangées 1 ou 8. Et que, puisse qu'il ne peut se trouver que sur 3/4 de l'échiquier, il suffit d'enlever 1/4 des positions (résultat 3612*62*3/4=167958). Et c'est la que ce pose le problème
Dans les 3612 couples de rois, les cases de la bande ont plus de chances d'être occupées que les cases du centre, et donc le nombre de case libres pour rajouter le pion est plus important. Il y a plus de 167958 positions avec deux rois et un pion blanc. Par contre, en considérant 64*63 paires de rois, les chances de recevoir un roi sont égales pour chaque case, et on peut cette fois-ci retrancher 1/4 (Résultat 64*63*62*3/4=187488). Il y a moins de 187488 positions avec deux rois et un pion blanc. C'est ce fait de retrancher une fraction que j'ai appellé (à tort) méthode statistique. J'espère avoir été compréhensible ... Sinon, pour ceux qui sont vraiment intéressés par ce problème, je suggère d'échanger les posts par email ou par mailing-list, je pense que ça serait plus pratique ...
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