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Eclat de rire :-) par fu***mi*2376 le  [Aller à la fin] | Actualités |
Alors que le match Kramnik contre la machine (Fritz) se profile j'en profite pour vous rappeler un petit match bien sympathique qui se déroule actuellement bien loin des médias.

Il s'agit du match Banikas-Deep Junior 7.0, en semi-rapide, ce qui met l'ordinateur sur son terrain de prédilection. 4 parties, 2 hier (1.5-0.5 pour le GM Grecque) et 2 aujourd'hui.
La deuxième partie est assez intéressante, parceque calculer des milliers de positions et se faire planter comme ça dans une finale de pions...
Alors qu'on vienne pas me dire que l'ordinateur est sur le point de bouffer l'humain aux échecs, il y a des GM assez intelligents pour savoir neutraliser un ordinateur, et je suis curieux de savoir à quelle profondeur l'humain a poussé ses calculs dans la deuxième partie, sans doute pas plus que 2 ou 3 coups.
Cyberneticum errarum est...
Salutations



on se rassure comme on peut futurmi :o) 


non perestroika! Je suis d accord avec toi futurmi ces ordi sont prenables par des gm qui savent les neutraliser; je pense que la pensée humaine est superieur a celle de l ordi!


Sunny-Black Je tente de vous inquiéter comme je peux... ;o)


La est pas le probleme, "L'intelligence humaine" ne progresse pas. Qui peut se vanter d'avoir la classe d'un Platon ou d'un Socrate ? Mais "l'intelligence machine" progresse a toutes vibrures... Et les GM capables de rivaliser sont une race en voie d'extinction...


Demandez à Fritz... ... ce qu'il pense de Unkman?
Le match hommes - machines


dan31, le
Nicolas , ... dans l'absolu , peut-être l'intelligence humaine ne progresse-t-elle pas, mais il peut s'adapter au jeu des machines même si c'est moins facile qu'avant. Difficile de dire si les machines seront bientôt meilleures que les humains. Il semblerait qu'elles les ait rattrapées mais pas dépassé et cette situation pourrait durer plus longtemps qu'on ne le pensait il y a deux ou trois ans


Toujours la meme chose ?  En tous cas ce qui est sur c est que la connaissance de la théorie de la complexité ne progresse pas dans le grand public.
Dire que l'intelligence des machines progresseest au niveau théorique une imposture : les ordinateurs actuels ne sont ni plus ni moins que des machines deTuring. Elles ont donc une capacité de résolution équivalente. Que les ordinateurs soient fait avec des boulons et des écrous, ou bien avec des circuits en silice ou encore avec des fibres optiques, qu ils soient programmes en assembleur, java,Prolog ou qu il tourne a 100 ou 10000 ou 1 Mhz ca ne change RIEN !!

Je vais donner une petite image : dire qu'un ordinateur (au sens ou nous l entendons actuellement cad avec une architecture type von Newmann) peut progresser sur le plan de l intelligence ce serait comme dire que vu que la technologie automobile progresse on va bientot pouvoir aller sur la lune avec. Cette analogie est interressante : je ne dis par exemple qu'une machine ne peut pas devenirintelligente (après tout nous sommes bien allé sur la lune) mais qu un ordinateur de par sa constructionne peut resoudre certains problèmes (problème de l'arret pour les connaisseurs) quels que soit sa vitesse/technologie/taille (pour aller sur lalune on a utilisé quelque chose qui n avait RIEN a voir avec une voiture).

En ce qui concerne le plan strictement échiquéen le problème est simple : le nombre de parties possibles est fini. Avec un ordinateur suffisament gros/puissant on peut jouer comme Dieu et produire la partie parfaite. Le problème n a donc rien avoir avec l'intelligence en ce qui concerne les machines. Par contre les hommes étant trop faibles sont obligés de se servir de leur intelligence pour pallier leurs manques: l homme et la machine ne jouent pas au meme jeu !




dan31, le
merci kassad ... ... d'élever le débat, mais ta vision des choses est trop théorique, ce qui est normal pour un spécialiste tel que toi.

On peut en théorie produire la partie parfaite avec de vulgaires machines d'aujourd'hui, sans intelligence, soit, je pense que tout le monde qui s'est penché un peu sur ces problèmes de jeu fini en a conscience ! Mais on disait : en pratique, les meilleures machines, grâce à cette approche, pourront-elles battre à coup sûr les humains dans les prochaines années ? Après le match kasparov - deep blue, bcp de monde pensait que oui, maintenant bcp de monde pense que non (dont moi).

La façon dont est fait le jeu d'échecs est telle que pour une telle machine, passer de 10 à 12 demi coups de profondeur est beaucoup plus important que de passer de 20 à 22 demi coups et même en admettant des progrès constants en rapidité de calcul, on n'a pas de progrès constants en force de jeu.Pour revenir à la partie parfaite, même si elle est trouvable théoriquement, je pense qu'on a encore au minimum quelques dizaines d'années devant nous.


Pas évident ! "Avec un ordinateur suffisament gros/puissant on peut jouer comme Dieu et produire la partie parfaite."
C'est ce que pensait Henri Poincaré dans Sciences et Hypothèses".
Ce n'est pas évident. La partie parfaite est tributaire de son résultat : gain ou nulle.
Il pourrait y avoir plusieurs parties parfaites (un peu comme deux solutions pour un mat) et il n'est pas évident que l'on puisse les extraire logiquement. On pourrait avoir plusieurs arbres qui conduisent à des résultats différents sans pour autant savoir dans quelles branches plutôt que d'autres avancer.
En pratique, c'est ce qui se passe avec la "théorie des ouvertures", mais en théorie, il n'est pas sûr que nous puissions trancher, même en ayant la totalité des parties effectivement jouées.


dan31, le
partie parfaite ...ce que j'entends par partie parfaite est la chose suivante : on peut démontrer pour un jeu fini tel les échecs qu'on est dans un de ces 3 cas- quel que soit le 1er coup des blancs, les noirs, en choisissant les meilleurs coups, gagnent.(hypothese peu probable mais sait on jamais)

- il existe au moins un premier coup blanc tels que les blancs gagnent à coup sûr en jouant à chaque fois les meilleurs coups (un peu plus probable mais très peu probable)

- l'affirmation logique qui reste : si les deux joueurs ne font pas d'erreur la partie est null (très probable, je me risquerait même à dire quasiment sûr)


du tout au rien, en passant par le n'importe quoi ! ouhla kassad ! tu vas vite et fort en besogne... je réponds d'embléeà dan31, kassad et Manuel que la partie parfaite ne peutêtre produite (même en théorie ??) par une machine actuelle ni ne pourratrès probablement jamais être produite, du moins pas comme vousl'imaginez, c'est-à-dire en épluchant l'arbre complet des possibilités.Un petit tour du côté du dénombrement vous en convaincra aisément,une machine actuelle ne peut stocker qu'une infime portion del'arbre complet des parties possibles !! (d'où mes "?" après "en théorie)
1) La partie parfaite existe peut-être voire probablement,et peut-être a t'elle plusieurs visages comme l'a subtilement relevé Manuel.
2) Cette même partie ne peut-être trouvée qu'en théorie,et il ne faut surtout pas sous-évaluer l'importance de ce mot ! Unemachine peut la trouver en théorie, à peu près de la même façon qu'unhomme peut la trouver en théorie.
Bref tous ces "en théorie" fontque ça n'a à peu près rien à voir avec le fait qu' "'en pratique" deepblue ait battu kasparov. Je ne comprends d'ailleurs pas trop le faitqu'on ramène tjs cette notion de partie parfaite sur le tapis, la machinefonctionne par à peu près, par des "semblants", des "probables".

Kassad :
1) machine de Turing ?? sais-tu ce que c'est ? ça n'est qu'uneboîte noire, on ne considère que ses entrées et ses sorties !! Quel rapportavec le "fonctionnement interne" ??2) tu tranches sur ce qu'est l'intelligence ou n'est pas l'intelligenceavec trop peu de nuance à mon avis. C'est une question très loinde faire l'unanimité entre informaticiens, philosophes ou mêmescientifiques ! Elle mérite bcp + de pincettes !!
3) Si la fréquence n'influe pas sur la qualité de l'intelligence (encoreque ?...), elle influe en tous cas indéniablement sur la force échiquéennede la machine et c'est, je crois, la question qui nous occupe ici.
4) Peux-tu préciser en 2 mots le problème de l'arrêt ? Est-ce un nouvojalon abritant ceux qui refusent à croire en l'intelligence artificielle ?(les précédents étaient "une machine ne pourra jamais jouer auxéchecs" puis "ne pourra jamais battre un homme" puis "ne saurajamais parler"...)
5) Encore une fois, le "suffisamment puissant" est utopique et synonymede "en théorie"...

dan31 : entièrement d'accord sur les 10-12 coups/20-22... + 20% depuissance de calcul ne veut pas dire 20% + fort aux échecs !et évidemment d'accord sur la dizaine d'années, quoi que je parleraisplutôt d'éternité pour ma part :o)


mea culpa je me rends compte que le titre de mon précédent message peut paraîtresarcastique voire insultant, ça n'était pas du tout le but !!


News ! GMI vaincu par une machine


precisions  Il ne me semble pas que je parlais d intelligence. Je pointais le doigt sur le fait que l' "intelligence" d un ordinateur ne peut progresser, non qu il soit ou ne soit pas intelligent (les degres restant a preciser et etant de futurs sujets de discordes).

Plus simplement la categorie de problemes que peut resoudre un ordinateur (je le répète au sens entendu actuellement) est fixe. Son "intelligence" ne PEUT pas progresser. Si tu trouves une machine qui resoud plus de problèmes ce ne sera plus un ordinateur mais une machine d une autre nature.

Quand a me demander si je sais ce que c est qu une machine de Turing ca me fait sourrire : c est mon métier de l expliquer : je suis prof de fac en informatique...

Dernier point en ce qui concerne la partie parfaite: je vois qu on s est servi de mon imprecision sur ce que j entendais par "parfaite" pour detourner mes propos. Ce que je voulais dire est que l arbre des coups est fini et si je peux, par ce que je possede un ordinateur surpuissant, me promener dans cet arbre je peux jouer aussi bien que Dieu. C est a dire choisir, si possible, la partie la plus courte gagnante (si je suis dans une position gagnante bien sur mais il faut preciser sinon...) ou bien la plus longue defense ou bien le gain comportant le plus d excelsior ou je ne sais quoi encore !


Questions floues à précisions vagues (ou l'invese :o) ) 1) En fait tu parles d'ordinateur pouvant apprendre (essai -échec-expérience) ? Bien qu'encore au balbutiement de telles bestioles existentdéjà ! Une machine apprend à parler depuis quelques années ! Il n'ya donc rien d'absolu ou figé en la matière !

2) Qu'est-ce qui empêcherait de programmer une machine pour qu'ellese reprogramme elle-même en réaction à son environnement ? D'oùsors tu ce "PEUT PAS" irrévocable ?

3) Turing : ma question était plus une exclamation qu'une question,j'ai senti que tu savais de quoi tu parlais c'est pourquoi je ne me suispas ridiculisé à t'en expliquer le principe ! :o))
Une "machine de turing" est "une machine qui subit le test définipar Turing". Donc que ce soit un mixer, un homme, une photocopieuse ouune gameboy, la force de ce test est justement que l'on ne s'yintéresse absolument pas !! Donc dire que les ordinateurs SONTdes machines de Turing me fait sursauter ! hic ! Tout peut-êtreconsidéré comme tel !

4) Ok ok sur la partie parfaite nous sommes d'accord... mais quel rapportavec deep blue ??? à peu près aucun !! Et tu ne m'expliques pas pourquoicette notion de partie parfaite refait surface lorsqu'on parle des machineset de leurs performances !! Fantasme ? Crainte ?

Amicalement


Et la boule complémentaire est la... Question subsidiaire : qu'appelles-tu intelligence de la machine ? Jepense que si l'on se mettait d'accord là-dessus, de nombreuses questionsévoquées ici tomberaient d'elles-mêmes !


IDFX, le
Apprentissage Fidelity avait sorti il y a quelques années une machine qui "apprenait", en ce sens qu'elle ne refaisait jamais deux fois la même erreur. Le principe: lorsqu'elle arrive dans une position où sa fonction d'évaluation chute brutalement, elle la garde en mémoire. La fois suivante, elle cherche à améliorer son jeu. Evidemment, le processus est très long, et pas du tout garanti. Toujours est-il qu'on n'en entend plus parler, pas même dans le principe.
Qu'en disez-vous, messieurs les connaisseurs?


Reyes, le
Fritz 6 aussi et même Fritz 5.32. Pour s'en convaincre il suffit de trouver une variante qui gagne contre le logiciel et de la rejouer à chaque fois. On voit que l'ordi change de coup à chaque fois qu'il perd. Par contre, le problème reste entier puisqu'il ne sais pas quel est le "mauvais coup". Donc, à un moment de la partie, il "imagine" que tel coup perd et en joue un autre...
Au bout de quelques parties, le résultat est qu'il joue de pire en pire.


reyes es-tu sûr que c'est de l'apprentissage et pas simplement unefonction de "hasard" (cf l'autre article "échecs et 'tyrannie") ?
As-tu testé la même manipulation sur une variante gagnante pourla machine ? (je sais c'est beaucoup + dur psychologiquement !

IDFX : je ne suis pas très au fait des nouvotés informatiques. Mais auvu de ce que vous dites tous les 2 (reyes et toi), les procédures d'apprentissagene m'ont pas l'air très au point. Ce qui n'empêche que ça soitprobablement une technologie d'avenir (du moins en ce qui concerne l'IA) !


Complexité, transcendance et chocolat La partie parfaite est un rêve que nous nous construisons, que notre conscience s'invente, pour remplir sa soif d'absolu et abolir le bibelot d'inanité sonore qu'est notre courte vie et nos faiblesses innombrables.

Sur ce, je vais tester le lancer de tartine de nutella, pour voir si la loi de murphy-confiture s'applique aussi.;-)


Reyes, le
C'est nommé "apprentissage", mais il est évident que ça ne marche pas !
La marque "Fidelity" avait déjà tenté l'expérience avec un "Sensory" (comme le dit IDFX), et Fritz l'a remis au goût du jour, mais les problèmes demeurent.
En fait, quand l'ordi a déjà perdu à partir d'une position semblable, il prend le second coup (son deuxième choix) pour ne pas reproduire la même variante, et ainsi de suite, tant que l'on répète la variante. Bien entendu, comme je l'ai déjà dit, le problème reste entier, puisqu'il ne connaît pas avec certitude le "mauvais coup"... donc il y va "au pif".
A mon avis, pour que cela fonctionne il faudrait que l'ordi ait le temps d'analyser la position dans sa mémoire, comme nous le faisons après une partie perdue.


ça marche "mal" reyes mais ça marche ! En fait exactement de même que toi qui analyses une de tesdéfaites, il n'est niforcé ni systématique que tu comprennes pourquoi tu as perduet quel était le coup perdant (enfin je sais que je parle au vénéréreyes mais imaginons que tu sois un simple mortel, voilà j'ai mismon grain de sel pour ton égo :o))) ). Il se trouve simplement que commetu dis, la machine n'est pas très fute fute et n'essaye même pas dechercher parmi l'ensemble des coups lequel a pu l'être et pourquoi. EtComparé à sa puissance de calcul par ailleurs, cela peut paraîtrechoquant et désiquilibré je suis d'accord !

Mais il n'est pas dit que l'antropomorphisme soit la meilleure solutionpour permettre à une machine d'apprendre, et là c'est exactement ceque les programmeurs ont voulu faire, sans apparemment bcp sepencher sur la question. (voire pire, ils ont ajouté ce petit gadgetpour pouvoir afficher en lettres fluo "nouveau ! il progresse !!", et c'estvrai que sur le papier il progresse même si c'est à 2 à l'heure)


Reyes, le
Oui, mais... comme il n'a pas le temps (comme nous pourrions le prendre pour analyser une de nos parties perdues) il prend seulement dans sa mémoire un autre des coups envisagés...
Donc on devrait nommer cette fonction : "variété de jeu".
Apprentissage suggère qu'il y a eu au moins une recherche, ce qui n'est pas le cas jusqu'à maintenant.


A propos de machine de Turing... Juste pour clarifier certains points et repondre a certainesquestions posees.Ce que l'on appele Machine de Turing en Info. Theoriqueest un modele d'ordinateur "ideal" qui permet de raisonner sur ce que peut ou ne peut pasfaire une machine.En gros, c'est une memoire (infinie) de 0 et de 1 (par ex.) avec des regles de transitions (lecture/ecriture)elementaires (voir n'importe quel bouquin d'info).On peut montrer que tout (programme d') ordinateur est une machine de Turing.Certains pensent qu'un cerveau d'humainest *aussi* une machine de Turing.Une fonction qui peut-etre calculee par une machinede Turing est dite "calculable".A noter que le fait qu'un ordinateur "change son programme" ou pas n'augmente en rien l'ensemble des fonctions calculables ! (cela reste une machine de Turing !).Ce concept n'a rien a voir avec ce que l'on appelle le "test de Turing" qui appartient + a la philosophiequ'a l'Informatique Theorique.Le probleme de l'arret est le pb suivant:"soit un programme d'ordinateur. Ce programme s'arrete-t-il ou boucle-t-il indefiniement ?"On peut montrer qu'il n'existe aucun programme permettant de repondre de maniere correcte etsystematique a cette question.C'est un ex. typique de fonction non calculable.Maintenant, les consequences pratiques de ces resultats sur les capacites des logiciels d'Echecs sontencore fort lointaines... En pratique, la puissance des ordinateurs augmentent, donc la vitesse avec lequel les algo.sont executes augmentent.D'autre part les algorithmes s'ameliorent,(meilleures heuristiques, meilleures fonctions d'evaluation etc.)Donc on peut dire que l'"intelligence" des ordinateurs augmente (au sens: leur capacite a mieux jouer).Le pb est: a quelle vitesse augmente-elle ?Et jusqu'ou peut-on aller en pratique (en theorie, on peutevidemment aller jusqu'a jouer "parfaitement", l'espacede recherche etant fini). Comme d'habitude lorsque l'onessaye de prevoir l'avenir, on ne peut guerefaire plus que de vagues suppositions...Mais l'idee emise plus haut que l'intelligence deshumain n'augmente pas me semble discutable. Dans tous les domaines l'humanite progresse (grace aux efforts cumules des generations successives), les Echecs ne font pasexception. Il suffit de comparer les parties de Morphy avec celle jouees actuellement au plus haut niveau.A+Niko.


Reponses a perestroika  1) Les ordinateurs qui apprennent ne sont rien d autre que ... des ordinateurs. Autrement dit dans ma métaphore précédentes ca revient à poser des chenilles sur une voiture et à se reposer la question : est ce que le progrès technologique va faire qu elle va pouvoir aller sur la lune. 2) Le peut pas irrévocable vient de la théorie de la calculabilité. Il y a des problèmes qu un ordinateur ne peut pas résoudre c est comme ca j y peu rien, tu n y peux rien, personne y peut quoique ce soit. Ce serait comme soutenir que 2+2=5. Le problème de base est celui de l arret on peut démontrer qu il n existe pas de programmes qui prennent en entrée n importe quel programme et dise si oui ou non se programme va se terminer ou boucler indefiniment (ca a des liens direct avec le théorème de Godel c est meme sa version informatique).3) ta définition de machine de turing est ... toute personnelle. En fait tu te trompes avec le TEST DE TURING. Un test que turing proposait pour mesurer une intelligence non humaine. Ca n a STRICTEMENT rien a voir avec la machine de turing qui n est qu une table de transition avec un ruban infini sur lequel se balade une tete de lecture ecriture. 4) La partie parfaite c etait pour repondre a menetrier qui jouait sur les mots. Tout ce que je dis c est que théoriquement (au niveau mathématique du terme) le jeu d'échec c'est résolu et ne demande aucune intelligence. Après bien sur on peut remarquer qu il y q plus de parties possibles que de protons dans l univers mais c est un autre problème. 5) Je ne parlais pas de l intelligence de la machine. Je parlais des progrès de cette dernière en disant que ces progrès sont nuls. Même les machines quantiques ne changent que les classes de complexités. En fait pour changer vraiment il faudrait des machines utilisant le continu mais rien ne prouve que notre univers soit continu au sens mathématique du terme (autant de nombre entre 0 et 1 qu entre 0 et 176 etc). Et encore ce n est rien de mieux que des machines de turing avec oracle...


entièrement d'accord ça n'est pas vraiment de l'apprentissage. Enfin si ! en étant vraimentpuriste, il y a un début de recherche puisqu'il change sa façon de jouerseulement qd il perd ! C'est un poil + fin qu'une simple "variété de jeu".Le jaune fluo est donc légitime ;-)

Au fait ma curiosité sur la taille de la "commentary database ?" tu n'aspas accès à l'info ?


oups je répondais à reyes dans mon précédent commentaire !merci à niko et kassad pour vos précisions, je faisais l'amalgameeffectivement ! je n'ai pas trop le temps là, mais vos réponses enattendent sûrement d'autres !

encore merci ! je me coucherai moins bète ce soir !


Cher niko... On voit clairement que tu sais de quoi tu causes. Mais juste une remarque : quand tu dis "soit un programme d'ordinateur. Ce programme s'arrete-t-il ou boucle-t-il indefiniement ? On peut montrer qu'il n'existe aucun programme permettant de repondre de maniere correcte et systematique a cette question. C'est un ex. typique de fonction non calculable." Tu as raison, mais tu aurais peut-etre du preciser qu'il existe le fameux "nombre de Chaitin" qui donne la probabilite qu'un programme s'arrete ou boucle. Ce nombre est tres interessant et tres special car il existe, il est unique, mais on pourra jamais le connaitre (du moins dans notre logique humaine actuelle). Mais fait pas attention, c'etait juste pour la ramener betement... J'y connais que dalle sur les "ordis", juste le "feeling" que dans 50 ans, ils battront tous les humains aux echecs, quelque soit la cadence. Nico.


intéressant tout ça... Marrant cette histoire, on ne peut donc pas faire un algorithme qui établisse d'après le code assembleur d'un programme si oui ou non il va se terminer ? Donc, finalement, l'équivalent de faire "tourner à la main" le programme est impossible à faire par une machine ?


Reponse a kmeleon Bonjour kmeleon,

Bien sur, il est tout a fait possible d'ecrire un programme executantle code d'un autre programme. (c'est un interpreteurou une "machine de Turing universelle").

Le pb est que "faire tourner le programme" (a la main ou en utilisant une machine)n'est pas suffisant pour savoir s'il s'arrete ou non !Certes, si le programme se termine tu pourras le demontrer de cette maniere,mais s'il ne se termine pas, tu ne pourras jamais avoirde reponse certaine, car il faudrait le laissertourner durant un temps infini pour etre tout a faitsur qu'il ne s'arrete pas (il peut terminer apres un tempstres long) !Donc, tu peux repondre "oui le programme se termine" mais jamais "non le programme ne se termine pas". (en terme decalculabilite on appelle ca une procedure de "semi-decision", i.eelle donne une reponse dans un cas et ne se terminepas dans l'autre).
Pour montrer que le prog. ne se termine pas, ilfaut raisonner sur son code (par exemple en reperant une boucle infinie).

Evidemment, on peut trouver des criteres partiels pour prouver la non-terminaison. (par ex. si le prog. retombeexactement sur une configuration deja rencontree)mais ces criteres ne peuvent etre que partiels(la preuve de cette assertion est d'ailleurs assez simple).

Cordialement,Niko.


en d'autres termes... Il y a trop de situations différences pour que le programme puisse lui même établir une preuve par récurence ?


oui beaucoup trop ! 


I'm bak Par où commencer ??? A y est, j'ai tout lu et évidemment je vais chipoter.

Godel and co : oui oui j'ai été emmené vers ces histoires (tiré parun certain hyper-jeu d'ailleurs mais c'est une autre histoire), en fait(vous allez hurler je sens) un programme ne peut résoudre le problèmede l'arrêt parce que c'est un problème qui peut être indécidable non tout bètement ? En quoi exactement un humain réagit mieux face àça ?? Certains problèmes sont indécidables quelque soit l'intelligenceemployée !

Intelligence et cerveau à patates : Effectivement dire que le cerveauest une machine de Turing me paraît difficile à réfuter, pour ne pasdire impossible étant donner le fonctionnement binaire des neurones.En ce sens kassad en quoi la machine serait-elle forcément aussi limitée ?

Nicolas : encore tes vieux démons... :o) Rassure moi et dis moi que tu ne réveilles pas la nuit en sueur après avoir cauchemardé t'être faitcourser par une équipe de processeurs en furie ??

Kassad : encore un mot, j'avoue que tu me "scotches" avec ton ordinateurcontinu (vlà aut' chose dis voir !)... mais tout ceci est bien théorique,mais en pratique crois-tu que cela nous pose de réels freins d'ici quelquessiècles ? En fait je ne saisis pas très bien en quoi tout ça peut-être gênant.En quoi la nature continue ou non est si importante. Avec assez de 1 et de 0,on a assez de précision, on peut aller jusqu'où on veut...




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